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月別アーカイブ: 8月 2009

無限へのパスポート

今日は数学の話

魅了する無限 ~アキレスは本当にカメに追いついたのか~ (知りたい!サイエンス)
藤田 博司
技術評論社

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みたとおりムック風の本ですし、巷にある無限を扱った本は中身が薄いので、正直あまり期待していなかったです。
まあ、パラパラとみて、結構ゼノンの逆理をきちんと扱っているみたいだったので買いました。

正直、これほど深い本は珍しい。

数学の本質、かなりのコアの部分に無限がある。
微積分に始まる解析も、数学の女王といわれる整数論でも、ブルバキの構造のベースになった集合論も、みんな無限の上に構築されているといっても過言でない。
かつて聖書の次に読まれた本と言われたユークリッドの原論も幾何を使って記述されているが、その背景に無理数の問題がある”不確かな”自然数の体系ではなく、実際に√2が描ける”確実な”幾何を基礎に置いたという考察があることを知れば、数学は太古の昔から無限とともにあるとさえいえる。

ところが、一般に出ている本では”飛ぶ矢は止まっている”や”アキレスは亀に追いつけない”といったゼノンの逆理にきちんとこたえていない。
ゼノンの逆理とは、自分たちが用いている論証、論法で積み上げていったことが本当の正しいですか?
ローカルに正しいことを”無限にまで”広げるとおかしなことがおきませんか?
あなたの論証は手法として間違っているのではありませんか?
という問いかけです。
実際に亀を追い越して見せても問いかけに答えていないわけで、実はとても深い、本質的なテーマです。

そこに、きちんと取り組んで、無限の本質を描き出そうとしています。
さらには連続体や超準解析といった専門的なテーマの道先案内までやっています。

よく類書で、若者や素人にわかってもらおうと、妙に話を簡単にしたり、対話形式ですすめて、難しいところには触れない、というものがありますが、もし若者に読ませるなら、このぐらい正面から問題をぶつける方が良いです。
ただ、こういう形で文章にまとめるというのは、本質がわかっていないとかけないので、本当は一番難しいことで、それに本書は成功していると思う。

久しぶりに、参考文献の専門書を取り寄せて読んでみようかなと思ってしまった。

私的には、連続体のところで、可算濃度と連続体濃度の間に1つだけ濃度があるという結果が多い というのに惹かれました。
なんとなく、どこまでも数えていく無限と、その先にある無限小の数の無限と、無限小数で表現される確定した点の数からなる連続体無限といった構造だと面白いなと。 神は0と1とωを与えて宇宙を創った とか。 その3点から作られた円が宇宙の始まり。(数直線に無限遠点を加えると円になるわけで、そのアナロジーです)

と、まあ、久しぶりに楽しませてもらいました。