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手持ちの数学書について:超準解析

どの分野にもまぶしい存在・憧れの対象があると思う。
コントラクトブリッジの世界にBlue Team(Squadra Azzurra)という神々のチームがあり、ベラドンナやガロッツォなどの超人的なプレイの数々と彼らが用いたBlue Team Club システム、そしてその秘密が書かれた 青っぽい表紙の ”The Blue Club” という本。学生の頃は手にすることができなかった本が今、手元にある。
それと同じイメージの本が 斎藤先生の 超積と超準解析 の本。 赤一色の表紙がまぶしく、無限小を既存の解析学に加えることでライプニッツの思想を復活させたという話で、なんか普通と違ってすごい感じが Blue Teamに似ていたのかな・・・

*超積と超準解析:斎藤正彦:東京図書: 9784489011979 :1980 新装版1刷
副題が ノンスタンダード・アナリシス

  1. 集合論の要約
  2. 超積と無限小解析
  3. 超準も出るととくに超冪モデル
  4. モデルの広大化、とくに広大モデルと飽和モデル
  5. 位相
  6. 函数解析

斎藤正彦というと線形代数の本を書いた先生という数学科生も多いと思うが、当時超準解析に関する書籍はこれぐらいしかなかった。はるか遠くの頂を眺めるようなもので、表紙のイメージだけが残っている・・・
解析の本だと思って読み始めると数学基礎論が延々と展開されて目が白黒することに。
実数体 \mathbb{R} に無限小を加えて拡張して ^*\mathbb{R}にするのだから、基礎論の話なんだなこれが。

* Non-Standard Analysis : Abraham Robinson : Princeton University Press : ISBN 9780691044903 : 1995 Revised Edition

本家本元の著作。 
General Introduction / Tools from logic / Differential and integgral calculus / General Topology / Functions of a real variable / Functions of a complex variable / Topological groups and Lie groups / Selected Topics / Concerning the history of the calculus

300 Page弱のPaper Backでサーチしたら見つかったので購入した本。 正直まだ全く読んでいない。この分野の金字塔であることはわかる。またリファレンスにアーベルやアリストテレスの名前が出てくるのも凄まじい。

* Lectures on Non-Standard Analysis : Moshe Machover / Joram Hirschfeld : Springer : ISBN 9783540046134 : 1969


80Page ぐらいのLecture Note です。Type 打ちの原稿を製本した感じ。

The aim of Robinson’s theory / The universe of discourse / The language L / Standard and non-standard system / Enlargemnt of U / Basic topological and metric concepts / Examples / Uniform spaces / Proximity spaces / Functions in uniform and proximity spaces

今ならPDFを無料でダウンロードできるレベルなんだろうと思う一方、手書きやタイプで論文や講義をかみ砕いて理解していたから到達できた理解度というのもあるのかなとも思う。

*Applied nonstandard analysis : Martin Davis : Dover Publications : ISBN 9780486442297 : 2005

Introduction / Universes and Languages / Real Numbers and Hyperreal Numbers / Topological and Metric Spaces / Normed Linear Spaces / Hilbert Space

Hilbert空間までカバーしているので、超準解析の基礎論からその先までが書かれているみたい。
Robinsonと一緒に研究をした人みたいで、最初に To the Memory of Abraham Robinson とある。
初出は1976年。 

このレベルになると、なんでこの本を買ったのだろうという気もしてくる。
多分、揃えておくこと、この分野はやりたい・やってみたかった という気持ちの代償行為なのではとも思ってしまう。まあ趣味ってそういうものかも知れない。

手持ちの数学書について:解析整数論・超越数(2)

数学を志すと専門書は岩波か共立だった時代の話
その中でも共立の専門書は超難解な本がそろっていて、まともに読めた記憶がない
そんな中の一冊

*解析数論:三井孝美:共立出版:ISBN 9784320011298: 1977 初版1刷
共立講座 現代の数学 12 で 副題に 超越数論とディオファンタス近似論 です。

  1. 超越数
  2. E関数
  3. Roth-Schmidtの近似定理
  4. 指数関数と代数的独立
  5. Bakerの理論
  6. 虚2次体の類数問題

学部の頃に”ほとんど、どこを見てもわからない”ことが嬉しくて入手した本だったかも知れない
今見返してみてもハードルは高い。Alan Bakerの原書を読みこなせた者だけがアプローチできる”聖典”のような気もする。 こんな専門書が普通に入手できた80年代というのは素晴らしい時代だったのだなと思う。

*解析的整数論:三井孝美:岩波書店 : ISBN 9784000051774 : 1989
副題が 加法的理論

小さい頃は岩波文庫の☆の数が勲章のようなもので、すべての教養は岩波からという時代に育った。
数学についても数学セミナー(日本評論社)関連の柔らかめの読み物とハードな岩波の専門書を追いかけていた。そんな1冊。 定価4800円ですでに修士を卒業していたはずなので完全に趣味・コレクションの一部として買ったのかなと思う。

  1. イデアル上の関数
  2. 量指標を持つζ函数
  3. 代数体の素数定理
  4. 三角和と平均値定理
  5. Waringの問題
  6. Goldbachの問題
  7. 分割問題

Goldbachの問題は Fermatの大定理同様、簡単に記述できるけど”超絶”難しい問題として有名。
その分野を整理して1つの本にしようというのだから実は大胆で類書がない(かつムズイ)本。
Ramanujanが貢献した分野というのだから、推して知るべし。代数体の素数定理ぐらいまで読めればいいかな 死ぬまでに。

手持ちの数学書について:解析的整数論・超越数

学生の頃から本を買い漁るのが趣味というか信仰の一つだった。
そのため、結構なライブラリになっていると思う。
特に最近の出版事情なり教育状況を見ると私はとても恵まれた時代に生きていたのだなと思う。
世界的な学者・研究者が多くの出版物を世に出していて、それが比較的安価に入手できた幸せを今思う。
(小平邦彦先生の単位を持っているのは私の密かな自慢です。)

おかげで結構なスペースを”宝物”に占拠されていて、その”宝物”には”いつか”が来ることをズーッと待っている状態。
還暦を過ぎて、その”いつか”が永久に来ない可能性が現実のものになってきている。
そこで、少しだけ、その”宝物”がなんであるかを確認したいと思いはじめた。

まずは解析的整数論 または 超越数論 の本について簡単に記述+所感を期していきます

解析的整數論 : 末綱 恕一 : 岩波書店: ISBN 9784000051798 : 1990/11/5 第4刷

私が一番懇意にして頂いた平野先生の専門分野でもある解析的整数論の名著。
1. リーマンのζ函數
2. ヘッケのL函數
3. ディリクレのL函數
4.アルチンのL函數
5. 約數問題

素数分布定理ぐらいは原書購読でやった記憶があるので、その延長線上に輝く名著として購入。
このぐらいは読んで理解したいなぁ、いつかは自分のものにしたいなぁと思った本。
当時普通に買えたが”函數” と書かれている戦前の教養に溢れている本。(末綱さんは高木貞治の直弟子)

解析的整数論は評価関数を定義してゴニョゴニョ計算していると矛盾になるので背理法成立とか、ある項より先で指定した領域・差分に飛ぶこむから、といったものが一杯あった気がする。

Transcendental Number Theory : Alan Baker : Cambridge University Press : ISBN 9780521397919 : 1990

そのものズバリ 超越数論 です。 160 Pageぐらいの簡潔なPaperBackですが、Bibliography と Further Publicationsが 30 Pageぐらいを占めていて、まともに読もうとしたら多分本箱1つぐらいは覚悟する必要がありそうな本。

The Origins / Linear forms in logarithms / Lower bounds for linear forms / Diophantine equations / Class numbers of imaginary quadratic fields / Elliptic functions / Rational approximations to algebric numbers / Mahler’s classification / Metrical theory / The exponential Theory / The Siegel-Shidlovsky theorems / Algebraic Independence

代数幾何は高い山だが色んなルートもあり登ろうとする人も多いが、超越数論は登る人は少なく競争も少ない。しかし急峻すぎてどこから登っていいのかさえ分からない・・・。
円積問題を最終的に解決した由緒正しき分野ではあるが、”でない”分野は見通しが立てにくく難しいと思う。
まあ、その高い頂を遠くに望む麓の町までもたどり着いてないのではありますが・・・

A concise introduction to the thory of numbers : Alan Baker : Cambridge University Press: ISBN 9780521286541 : 1990

Alan Baker による数論入門です。 こちらは 90 Page の PaperBack ですが、濃縮度満点で、Transcendental Number Theory を読むために”最低限”必要なことが”メモ”されているようです・・・ 150Km/h越えの球を投げるピッチャーのキャッチボールは 120Km/h越えってことですかね・・・ 薄さとタイトルに騙されてはいけない

Divisibility / Arithmetical functions / Congruences / Quadratic residues / Quadratic forms / Diophantine approximation / Quadratic fields / Diophantine equations

まあ、16ページぐらいの 8章の Diophantine equations が  The Pell equation / The Thue equation / The Mordell equation / The Fermat equation / The Catalan equation / Further readings / Exercises となっていることから察しましょう。(普通に原書購読 今日は1ページも進んだねぇ~の世界ですな)



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ブログで絵が使えるのでいいかなと。三角形

こんな風に、簡単に絵が描けるのいいかなと