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封筒を交換すると本当にいいの? (確率論に迷う)

年末年始は特番が一杯だったけど、そのなかで平成教育委員会で、面白い確率の問題が出ました。

3枚の封筒に1つだけ当りが入っている。
そのうち1つを手にした。
残りの2つのうち、1つを調べたら外れだった。
今手元にある封筒と残りの封筒を交換した方がよいのか、交換してもしなくても同じか、という問題でした。

元々、1/3 の確率で当りがあったもの同士を交換するのだから、確率的には一緒だと思ったのだが、正解は、交換した方が確率が高くなるということでした・・・。
説明は、今の封筒は1/3 の確率のままだが、もう一方は、元々確率が2/3あって、その外れでない方だから確率が高いので交換した方がよいというもの。

確かに最初の封筒を開くまでは確率はどれも1/3 だったわけだけど、あけて外れだったと分かった瞬間に、条件が均等になるので、1/3 ÷ 2/3 = 1/2 と成るんじゃないかなとおもう。(開封する封筒に当りが無いという条件下では確率が 1/2 になる)・・・・

で、この説明は間違い! ・・・と思ったのだが、2枚の封筒を密室の中で、結果を分からない状態にして、同じことをした場合、手元の封筒は確率 1/3 のまま。
うーん、密室の中では1つ開封しているので、確率は 1/2 になっているが、外の方は、既に開封して”外れ”が確定している側に当たりが入っている確率も考慮しなければいけないので、依然確率 1/3 ・・・
うーん、シュレディンガーの猫のパラドックスだな、これは・・・

一方、前段の話をすべてすっ飛ばして、最後の2つの封筒のどちらかに当りが入っているという状況では単純に確率 1/2 だね。 こちらは、過去や経緯を知らないと確率が高くなるということになるぞ・・・

確か、実験では確率は 1/2 にはならなかったということをどこかで読んだ気もするので、問題としては、交換する方がよいというのが正解なのかも知れないけれど、納得がいきません。
(まあ、お前が納得しなくても地球は回っているということだろうが・・・)

ただ、いずれにしても、こんなややこしい問題を出したスタッフの勇気はたたえたいと思います。


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