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手持ちの数学書について:超準解析

どの分野にもまぶしい存在・憧れの対象があると思う。
コントラクトブリッジの世界にBlue Team(Squadra Azzurra)という神々のチームがあり、ベラドンナやガロッツォなどの超人的なプレイの数々と彼らが用いたBlue Team Club システム、そしてその秘密が書かれた 青っぽい表紙の ”The Blue Club” という本。学生の頃は手にすることができなかった本が今、手元にある。
それと同じイメージの本が 斎藤先生の 超積と超準解析 の本。 赤一色の表紙がまぶしく、無限小を既存の解析学に加えることでライプニッツの思想を復活させたという話で、なんか普通と違ってすごい感じが Blue Teamに似ていたのかな・・・

*超積と超準解析:斎藤正彦:東京図書: 9784489011979 :1980 新装版1刷
副題が ノンスタンダード・アナリシス

  1. 集合論の要約
  2. 超積と無限小解析
  3. 超準も出るととくに超冪モデル
  4. モデルの広大化、とくに広大モデルと飽和モデル
  5. 位相
  6. 函数解析

斎藤正彦というと線形代数の本を書いた先生という数学科生も多いと思うが、当時超準解析に関する書籍はこれぐらいしかなかった。はるか遠くの頂を眺めるようなもので、表紙のイメージだけが残っている・・・
解析の本だと思って読み始めると数学基礎論が延々と展開されて目が白黒することに。
実数体 \mathbb{R} に無限小を加えて拡張して ^*\mathbb{R}にするのだから、基礎論の話なんだなこれが。

* Non-Standard Analysis : Abraham Robinson : Princeton University Press : ISBN 9780691044903 : 1995 Revised Edition

本家本元の著作。 
General Introduction / Tools from logic / Differential and integgral calculus / General Topology / Functions of a real variable / Functions of a complex variable / Topological groups and Lie groups / Selected Topics / Concerning the history of the calculus

300 Page弱のPaper Backでサーチしたら見つかったので購入した本。 正直まだ全く読んでいない。この分野の金字塔であることはわかる。またリファレンスにアーベルやアリストテレスの名前が出てくるのも凄まじい。

* Lectures on Non-Standard Analysis : Moshe Machover / Joram Hirschfeld : Springer : ISBN 9783540046134 : 1969


80Page ぐらいのLecture Note です。Type 打ちの原稿を製本した感じ。

The aim of Robinson’s theory / The universe of discourse / The language L / Standard and non-standard system / Enlargemnt of U / Basic topological and metric concepts / Examples / Uniform spaces / Proximity spaces / Functions in uniform and proximity spaces

今ならPDFを無料でダウンロードできるレベルなんだろうと思う一方、手書きやタイプで論文や講義をかみ砕いて理解していたから到達できた理解度というのもあるのかなとも思う。

*Applied nonstandard analysis : Martin Davis : Dover Publications : ISBN 9780486442297 : 2005

Introduction / Universes and Languages / Real Numbers and Hyperreal Numbers / Topological and Metric Spaces / Normed Linear Spaces / Hilbert Space

Hilbert空間までカバーしているので、超準解析の基礎論からその先までが書かれているみたい。
Robinsonと一緒に研究をした人みたいで、最初に To the Memory of Abraham Robinson とある。
初出は1976年。 

このレベルになると、なんでこの本を買ったのだろうという気もしてくる。
多分、揃えておくこと、この分野はやりたい・やってみたかった という気持ちの代償行為なのではとも思ってしまう。まあ趣味ってそういうものかも知れない。